В геометрии существует важная теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника. Докажем, что для любого выпуклого n-угольника сумма его внешних углов равна 360°.
Содержание
Определение внешнего угла
Внешний угол многоугольника - это угол, смежный с внутренним углом многоугольника. При каждой вершине можно построить два равных внешних угла, но традиционно рассматривают только один.
Доказательство теоремы
Сумма внутренних и внешних углов
В каждой вершине многоугольника сумма внутреннего и внешнего углов равна 180° (как смежные углы). Для n-угольника имеем:
| Сумма внутренних углов (Sвн) | + | Сумма внешних углов (Sвнеш) | = | 180° × n |
Формула суммы внутренних углов
Известно, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:
Sвн = 180° × (n - 2)
Подстановка и вычисление
Подставим формулу суммы внутренних углов в первое равенство:
| 180° × (n - 2) | + | Sвнеш | = | 180° × n |
| Раскроем скобки: | ||||
| 180° × n - 360° | + | Sвнеш | = | 180° × n |
| Вычтем 180° × n из обеих частей: | ||||
| -360° | + | Sвнеш | = | 0 |
| Перенесем -360° в правую часть: | ||||
| Sвнеш | = | 360° | ||
Геометрическая интерпретация
При обходе многоугольника и повороте на каждом внешнем угле в сумме происходит полный оборот (360°). Это объясняет, почему сумма внешних углов постоянна и не зависит от количества сторон.
Пример для различных многоугольников
| Многоугольник | Количество сторон (n) | Сумма внешних углов |
| Треугольник | 3 | 360° |
| Четырехугольник | 4 | 360° |
| Пятиугольник | 5 | 360° |
| n-угольник | n | 360° |
Вывод
Таким образом, мы доказали, что для любого выпуклого n-угольника сумма его внешних углов равна 360°, независимо от количества сторон. Это фундаментальное свойство выпуклых многоугольников в евклидовой геометрии.
Примечание
Для невыпуклых (вогнутых) многоугольников сумма внешних углов может отличаться от 360°, так как в этом случае внешние углы могут иметь отрицательную меру.
